Non Destructive Method Theory - Basic Principles - https://www.tinker.af.mil/Portals/106/Documents/Technical%20Orders/AFD-101516-33B-1-1.pdf AF338-1-1-EC-CP4Sc0-Indice ROCarneval

NONDESTRUCTIVE TESTING HANDBOOK - Electromagnetic Testing
Manual de Ensaio Não Destrutivo - Ensaio Eletromagnético

  1. Parte 1. Modêlo do Fenômeno do Ensaio Eletromagnético
    1. Introdução
    2. Equações Diferenciais Básicas para Campos Eletromagnéticos
    3. Modêlos Analítico e Numérico
  2. Parte 2. Modêlo do Meio Condutor Homogêneo
    1. Fundamentos
    2. Modêlos Analíticos
    3. Modêlos de Dodd e Deeds
    4. Extensões dos Modêlos de Dodd e Deeds
    5. Modêlos Tridimensionais
    6. Perturbação e Expansão da Função de Engen
    7. Conclusões
  3. Parte 3. Modêlos Analíticos e Integral para Simular Trincas
    1. Introdução
    2. Elementos da Teoria de Trincas
    3. Dipolo da Corrente
      1. Mono polo da Corrente Estática
      2. Pequena Inclusão Esférica
      3. Dipolo Dinâmico da Corrente
      4. Resposta da Sonda
      5. Pequenas Descontinuidades
      6. Trincas Longas
    4. Técnicas Avançadas
      1. Campo Elétrico na Abertura da Trinca
      2. Trinca Impenetrável
      3. Distribuição do Dipolo da Corrente na Superfície
      4. Formulação Integral
      5. Resultados dos Elementos de Contorno
      6. Teoria da Trinca de Pouca Penetração
      7. Formulações Alternativas
      8. Regime de Pouca Penetração
  4. Parte 4. Modêlo Computacional do Campo de Correntes Parasitas
    1. Bases Matemáticas do Modelo
      1. Tipos de Modêlo
      2. Visão Geral da Modelagem Analítica e Numérica
    2. Modêlo Analítico
      1. Técnica de Solução Integral
    3. Modêlo Numérico
      1. Técnica das Diferenças Finitas
      2. Representação das Diferenças Finitas
      3. Formulação das Diferenças Finitas para Problemas de Campo Bidimensional e Axissimétricos
      4. Contornos e Condições de Contorno
      5. Malhas Não Uniformes e Não Retangulares
      6. Solução do Sistema de Equações
      7. Solução Interativa
      8. Solução por Matriz de Inversão
    4. Técnica de Elementos Finitos
      1. Formulação de Elementos Finitos para Geometrias Bidimensionais e Axissimétricas
      2. Energia Funcional para Problemas de Correntes Parasitas
      3. Discretização de Elementos Finitos
      4. Formulação de Elementos Finitos
      5. Elementos Isoparamêtricos Quadrilaterais
      6. Minimização Funcional
      7. Condições de  Contorno
      8. Cálculos com Vetor Magnético Potencial
    5. Modelagem da Física do Ensaio de Correntes Parasitas
      1. Modelagem para Projeto de Sondas
      2. Projeto por Elementos Finitos de Sondas de Correntes Parasitas Absoluta e Diferencial
      3. Modelagem para Simulação
      4. Conclusões


1 MODÊLO DO FENÔMENO DO ENSAIO ELETROMAGNÉTICO


1.1 INTRODUÇÃO
Modelos matemáticos são usados ​​para simular o fenômeno das correntes parasitas e suas aplicações em ensaios não destrutivos. Os modelos tipicamente simulam um ensaio de correntes parasitas e predizem o sinal da sonda associado a uma descontinuidade específica (uma região onde a condutividade ou permeabilidade muda abruptamente) sob diferentes condições experimentais. Os resultados desses estudos paramétricos são úteis no projeto de sondas, na visualização da interação do campo com as descontinuidades, na otimização da configuração do ensaio e na geração de assinaturas de descontinuidade que podem ser usadas para desenvolver algoritmos de interpretação de sinais. Os modelos de simulação são relativamente baratos em comparação com os dados adquiridos experimentalmente a partir de descontinuidades artificiais.
Todos os fenômenos eletromagnéticos, incluindo aqueles relacionados ao vazamento de fluxo magnético e aos ensaios de correntes parasitas, são governados por equações diferenciais. (R01)


1.2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS BÁSICAS PARA CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS (R02)
As equações diferenciais que governam campos eletromagnéticos gerais, variáveis ​​no tempo, em baixas frequências, em regiões que incluem materiais magnéticos e condutores e densidades de corrente aplicadas, são derivadas das equações de Maxwell: (R01)

Eq. 1 a 4

onde B é a densidade de fluxo magnético (tesla), D é a densidade de fluxo elétrico (coulomb por metro quadrado), E é a intensidade do campo elétrico (volt por metro), H é a intensidade do campo magnético (ampère por metro), J é a densidade de corrente (ampère por metro quadrado), t é o tempo (segundo) e ρ é a densidade de carga (coulomb por metro cúbico).
A Equação 2 depende da aproximação quase-estática, que negligencia a corrente de deslocamento. A técnica de micro-ondas necessita da corrente de deslocamento, mas sua omissão é justificável na técnica de correntes parasitas, pois as frequências mais altas encontradas são da ordem de alguns megahertz. Nessas frequências, a corrente de condução em metais é tipicamente muitas ordens de magnitude maior que a corrente de deslocamento. A carga pode se acumular em limites de descontinuidade e na superfície de condutores, causando um salto na componente normal do campo elétrico. No entanto, a Eq. 2 implica que \/.J = 0, o que significa, por exemplo, que a corrente normal a uma superfície que adquire carga é desprezível. Embora a corrente de carga possa ser desprezada, o efeito da carga no campo elétrico não pode ser ignorado. Se o limite não for abrupto, a carga incidente se distribui por um volume.
Observe que, ao igualar todas as derivadas temporais a zero, essas equações podem ser usadas para descrever fenômenos de fuga de fluxo magnético. O mesmo modelo numérico usado para ensaios de correntes parasitas pode ser aplicado a ensaios de fuga de fluxo magnético, igualando-se a frequência da corrente da fonte a zero.
Além das equações de Maxwell, as seguintes relações descrevem meios lineares e isotrópicos:

Eq. 5 a 7

A permissividade ou constante dielétrica ε (farad por metro), a permeabilidade magnética μ (henry por metro) e a condutividade elétrica σ (siemens por metro) são tratadas aqui como constantes escalares. Em meios anisotrópicos, cada uma se torna um tensor 3 x 3. O comportamento não linear de qualquer uma das três propriedades pode existir em uma determinada situação. Embora a não linearidade na condutividade e na permissividade seja raramente encontrada em problemas de correntes parasitas, a não linearidade de materiais magnéticos é comum e se expressa como a dependência da permeabilidade em relação ao campo. Para aplicações práticas de correntes parasitas, os níveis de excitação geralmente são baixos o suficiente para justificar a suposição de linearidade para materiais magnéticos.
Usando essa suposição e substituindo a Eq. 5, a Eq. 2 se torna:

Eq. 8

Isso, no entanto, não é suficiente para especificar completamente os campos dentro da região da solução, pois a densidade de corrente J contém duas fontes diferentes. A primeira e mais óbvia é a densidade de corrente aplicada Js. Uma segunda componente é a densidade de corrente parasita induzida Je. Assim, a Eq. 8 torna-se:

Eq. 9

Neste ponto, é útil introduzir o potencial vetor magnético A, que é definido como segue:

Eq. 10

Substituindo isso na Eq. 8 e na Eq. 1, obtemos as Eqs. 11 e 12 para uma região livre de fontes:

Eq. 11 a 12

O campo elétrico na Eq. 12 é:

Eq. 13

A Eq. 13 mostra que o campo elétrico pode ser dividido em um termo de potencial vetor magnético e uma contribuição escrita como o gradiente de um potencial escalar. O gradiente do potencial é incluído para expressar o campo elétrico como uma forma geral que satisfaz a Eq. 12. O potencial escalar é eliminado quando a Eq. 13 é substituída na Eq. 1, porque o rotacional do gradiente é identicamente zero.
Portanto, o campo eletromagnético está definido para qualquer problema físico específico, mas A e Φ ainda não estão definidos. Por exemplo, um gradiente de potencial diferente poderia ser adicionado ao termo do potencial vetor em vez do \/Φ original, e A poderia ser ajustado para fornecer o campo elétrico correto. A expressão resultante satisfaria a Eq. 12 e produziria o mesmo fluxo magnético da Eq. 1. Portanto, há flexibilidade na escolha de A e Φ. Para garantir que os potenciais sejam definidos de forma única, a partição do campo deve ser fixada de alguma forma. Isso geralmente é feito completando a definição de A.
A vector field may be defined, apart from an arbitrary constant, by specifying its curl and its divergence. In the case of the magnetic vector potential, the curl is given by Eq. 10. It is necessary only to decide on the divergence to have it fully specified. The specification of the divergence is called the gage condition. Substituting Eq. 13 into Eq. 12 gives:
Um campo vetorial pode ser definido, além de uma constante arbitrária, especificando seu rotacional e sua divergência. No caso do potencial vetor magnético, o rotacional é dado pela Eq. 10. É necessário apenas decidir sobre a divergência para que ela esteja totalmente especificada. A especificação da divergência é chamada de condição de calibre.
Substituindo a Eq. 13 na Eq. 12 fornece:

Eq. 14

Expandindo o lado esquerdo com a identidade vetorial \/ x \/ x = \/\/-\/, obtemos:

Eq. 15

A divergência de A é comumente definida como zero (condição de calibre de Coulomb), mas isso, em geral, não separaria os potenciais escalar e vetorial. Em vez disso, a condição de calibre é escolhida:

Eq. 16

o que elimina os dois últimos termos da equação 15, resultando em:

Eq. 17

A equação 17 se assemelha à equação de difusão para fluxo de calor e possui soluções semelhantes no domínio do tempo.
A maioria dos ensaios de correntes parasitas, no entanto, é realizada com corrente alternada, cuja dependência temporal é simplesmente uma oscilação harmônica no tempo. A oscilação harmônica é caracterizada por uma amplitude e uma fase, que podem ser convenientemente representadas na forma fasorial: A(r,t) = R{A(r) ejwt}, onde A(r) é um vetor complexo que representa a amplitude e a fase das componentes do potencial vetor magnético e onde j = \/(-1), R denota a operação de extrair a parte real e ω é a frequência angular (radianos por segundo). Observe que o mesmo símbolo é usado aqui para representar tanto a quantidade real dependente do tempo A(r,t) quanto a quantidade complexa A(r), mas elas são distinguidas por seus argumentos. Em outros lugares, os argumentos não serão fornecidos e a distinção entre as duas deve ser reconhecida pelo contexto. A derivada temporal fornece:

Eq. 18

Portanto, para a teoria harmônica temporal, jω é substituído por δ.(δt)-1 na Eq. 17 e o potencial vetor pode ser visto como um fasor complexo. Dessa forma, a Eq. A equação 17 torna-se a equação 19:


Eq. 19

1.3 MODÊLOS ANALÍTICO E NUMÉRICO
Existem diferentes tipos de modelos. Alguns são analíticos e outros numéricos. Os modelos analíticos são computacionalmente mais eficientes do que os modelos numéricos. No entanto, os modelos numéricos são muito mais flexíveis e podem ser usados ​​para modelar geometrias complexas de descontinuidades, não linearidade do material e outras complexidades associadas a cenários de ensaiosreais.
A seguir, são descritos modelos analíticos que caracterizam o comportamento de correntes parasitas em meios condutores homogêneos livres de descontinuidades, particularmente o modelo proposto por Dodd e Deeds (R10) e suas extensões. Soluções analíticas e integrais, técnicas numéricas que abrangem descontinuidades em materiais, também são descritas a seguir, assim como técnicas numéricas baseadas em análise de diferenças finitas e elementos finitos.


2. MODÊLO DO MEIO CONDUTOR HOMOGÊNEO


2.1 FUNDAMENTOS
Model based quantitative eddy current testing has evolved steadily with improvements in computing power. A focus on accurate modeling has led to a thorough understanding of eddy current testing and to full automation of field tests. (R02)(R07) Modeling is performed by solving Maxwell’s equations and the solutions can be expressed either analytically or numerically. Analytical solutions provide closed form expressions for the parameters of interest in eddy current testing and are the subject of the present discussion.
Os testes quantitativos de correntes parasitas baseados em modelos evoluíram de forma constante com as melhorias na capacidade computacional. O foco na modelagem precisa levou a uma compreensão completa dos testes de correntes parasitas e à automação total dos testes de campo. (R02) (R07) A modelagem é realizada resolvendo as equações de Maxwell, e as soluções podem ser expressas analiticamente ou numericamente. As soluções analíticas fornecem expressões de forma fechada para os parâmetros de interesse nos testes de correntes parasitas e são o tema da presente discussão.

 Eddy current testing models can be used for coil design, test frequency selection and interpretation of test data. Important quantities to be calculated are the eddy current distribution induced in the specimen undergoing testing, as well as the resulting impedance change of the coil. Calculation and visualization of the eddy current flow pattern can be used to assess the true depth of penetration into the material and the interaction with particular discontinuities. In this way, the coil configuration can be optimized to ensure maximum interaction with given discontinuity types, properly taking into account frequency and material parameters. Calculation and visualization of impedance plane loci can be used for comparison with actual test signals. This comparison provides a better understanding of impedance variations from known discontinuities of particular size and orientation as well as from particular material and spatial features of the test object.
Os modelos de testes de correntes parasitas podem ser usados ​​para o projeto da bobina, seleção da frequência de teste e interpretação dos dados de teste. Grandezas importantes a serem calculadas são a distribuição de correntes parasitas induzidas no espécime submetido ao teste, bem como a mudança de impedância resultante da bobina. O cálculo e a visualização do padrão de fluxo de correntes parasitas podem ser usados ​​para avaliar a profundidade real de penetração no material e a interação com descontinuidades específicas. Dessa forma, a configuração da bobina pode ser otimizada para garantir a máxima interação com determinados tipos de descontinuidade, levando em consideração adequadamente a frequência e os parâmetros do material. O cálculo e a visualização dos planos de impedância podem ser usados ​​para comparação com sinais de teste reais. Essa comparação proporciona uma melhor compreensão das variações de impedância decorrentes de descontinuidades conhecidas de tamanho e orientação específicos, bem como de características materiais e espaciais particulares do objeto de teste.

 Problems concerning eddy current induction are formulated by means of differential equations, which determine the magnetic field and related quantities at a certain point in terms of an existing source current density. The flow of eddy currents is calculated by using the diffusion differential equation, which is conveniently expressed in terms of the magnetic vector potential. There are two ways of solving this differential equation: analytical techniques and numerical ones.
Problemas relacionados à indução de correntes parasitas são formulados por meio de equações diferenciais, que determinam o campo magnético e grandezas correlatas em um determinado ponto em função da densidade de corrente de uma fonte existente. O fluxo de correntes parasitas é calculado utilizando-se a equação diferencial de difusão, que é convenientemente expressa em termos do potencial vetor magnético. Existem duas maneiras de resolver essa equação diferencial: técnicas analíticas e numéricas.

Analytically, the equation is solved by the technique of separation of variables within a region of the geometry. The influence of sources outside the region is accounted for by imposing appropriate boundary conditions. Analytical solutions may handle two-dimensional problems, axisymmetric problems and in certain cases three-dimensional ones, as long as the corresponding equations are linear and the geometry of boundaries and sources are relatively simple. Because the class of geometries that can be treated is usually restricted to problems with canonical boundaries (planar, cylindrical and spherical regions), these techniques allow only for an approximation to problems with noncanonical boundaries or discontinuities. The solutions from analytical techniques are general and exact and they provide deeper insight into the problem. They are obtained normally in the form of a mathematical relationship, which can then be used for analysis, parametric studies and calibration of test systems. An important aspect of analytical models is that closed form expressions are easily coded, either with higher programming languages or with commercial mathematical packages, and therefore require minimal effort by the developer. When the solutions are coded, they are much faster than numerical techniques, which require significantly longer computing times.

Analiticamente, a equação é resolvida pela técnica de separação de variáveis ​​dentro de uma região da geometria. A influência de fontes externas à região é considerada pela imposição de condições de contorno apropriadas. Soluções analíticas podem lidar com problemas bidimensionais, problemas axisimétricos e, em certos casos, tridimensionais, desde que as equações correspondentes sejam lineares e a geometria das fronteiras e fontes seja relativamente simples. Como a classe de geometrias que podem ser tratadas geralmente se restringe a problemas com fronteiras canônicas (regiões planas, cilíndricas e esféricas), essas técnicas permitem apenas uma aproximação para problemas com fronteiras não canônicas ou descontinuidades. As soluções obtidas por técnicas analíticas são gerais e exatas, proporcionando uma compreensão mais profunda do problema. Elas são normalmente obtidas na forma de uma relação matemática, que pode então ser usada para análise, estudos paramétricos e calibração de sistemas de teste. Um aspecto importante dos modelos analíticos é que as expressões de forma fechada são facilmente codificadas, seja com linguagens de programação de alto nível ou com pacotes matemáticos comerciais, exigindo, portanto, um esforço mínimo do desenvolvedor. Quando as soluções são codificadas, elas são muito mais rápidas do que as técnicas numéricas, que exigem tempos de computação significativamente maiores.

Analytical solutions are also used tor validation of solutions from more complex numerical techniques. The latter produce numerical results rather than closed form expressions and their accuracy can be confirmed independently by analytical models, which provide an inexpensive alternative to experimental verification of numerical results.
Soluções analíticas também são usadas para validação de soluções obtidas por técnicas numéricas mais complexas. Estas últimas produzem resultados numéricos em vez de expressões de forma fechada, e sua precisão pode ser confirmada independentemente por modelos analíticos, que fornecem uma alternativa de baixo custo à verificação experimental de resultados numéricos.

Models for problems having canonical boundaries are described below, beginning with the well established models developed by Dodd and Deeds. Extensions of these models as well as three-dimensional models and semianalytical models for problems involving canonical boundaries are presented. Approximate solutions with application to discontinuity modeling are presented elsewhere, below.
Modelos para problemas com fronteiras canônicas são descritos abaixo, começando com os modelos bem estabelecidos desenvolvidos por Dodd e Deeds. Extensões desses modelos, bem como modelos tridimensionais e modelos semianalíticos para problemas envolvendo fronteiras canônicas, são apresentados. Soluções aproximadas com aplicação à modelagem de descontinuidades são apresentadas em outro local, abaixo.


2.2 MODÊLOS ANALÍTICOS
In the case of a two-dimensional axisymmetric geometry with rotational symmetry about the Z axis, Eq. 17 ina source free region becomes:
No caso de uma geometria axisimétrica bidimensional com simetria rotacional em torno do eixo Z, a Eq. 17 em uma região livre de fontes torna-se:

Eq20

The above equation is solved by adopting the technique of separation of variables. Although many applications can be modeled with an axisymmetric geometry, many applications are described by a three-dimensional geometry that exhibits special difficulties. These difficulties arise when using curvilinear coordinates for the description of the problem because the components of A (Eq. 17) are coupled together in the resulting scalar differential equations. In this case, the technique of separating variables cannot be applied. The inconvenience is avoided by using the second order vector potential W, which was introduced by Smythe.® For the case of a solenoidal A, having a zero divergence as in Eq. 17, W is defined as:
A equação acima é resolvida adotando-se a técnica de separação de variáveis. Embora muitas aplicações possam ser modeladas com uma geometria axisimétrica, muitas aplicações são descritas por uma geometria tridimensional que apresenta dificuldades específicas. Essas dificuldades surgem ao usar coordenadas curvilíneas para a descrição do problema, porque os componentes de A (Eq. 17) estão acoplados nas equações diferenciais escalares resultantes. Nesse caso, a técnica de separação de variáveis ​​não pode ser aplicada. O inconveniente é evitado usando o potencial vetorial de segunda ordem W, que foi introduzido por Smythe®. Para o caso de um solenoidal A, com divergência zero como na Eq. 17, W é definido como:

Eq21

where μ is a fixed unit vector and Wa and Wb are two orthogonal scalar functions satisfying the scalar equation:
onde μ é um vetor unitário fixo e W a e W b são duas funções escalares ortogonais que satisfazem a equação escalar:

Eq22

Because the above equation is separable in a number of coordinate systems, formulations based on W can be used effectively for the separation of the vector differential equation of Eq. 17.
Como a equação acima é separável em vários sistemas de coordenadas, formulações baseadas em W podem ser usadas efetivamente para a separação da equação diferencial vetorial da Eq. 17.

 Analytical models suitable for eddy current testing have been developed over the years by workers in nondestructive testing and in geophysics and by designers of magnets, motors and accelerators. Initially, the basic problem studied was that of a filamentary current source beside a conducting test object. A review anda list of solutions are presented by Tegopoulos and Kriezis (R09) for a variety of configurations with regard to the shape of the sources and the geometry of the conducting media. The two-dimensional problems are studied by using the magnetic vector potential A, whereas the three-dimensional problems are treated by using the second order vector potential W.
Modelos analíticos adequados para testes de correntes parasitas foram desenvolvidos ao longo dos anos por pesquisadores em testes não destrutivos e em geofísica, bem como por projetistas de ímãs, motores e aceleradores. Inicialmente, o problema básico estudado era o de uma fonte de corrente filamentar próxima a um objeto condutor de teste. Uma revisão e uma lista de soluções são apresentadas por Tegopoulos e Kriezis (R09) para uma variedade de configurações em relação à forma das fontes e à geometria dos meios condutores. Os problemas bidimensionais são estudados usando o potencial vetor magnético A, enquanto os problemas tridimensionais são tratados usando o potencial vetor de segunda ordem W.
2.3 MODÊLOS DE DODD E DEEFS
In the theory of eddy current testing, the work of Dodd and Deeds (R10) has provided the basis for one of the most popular models. Building on a range of earlier work, they presented solutions for eddy current distributions, in the form of fourier-bessel integrals, for a number of axisymmetric coil configurations often encountered in eddy current test applications. These solutions have been applied to the calculation of eddy currents produced by cylindrical coils in planar and cylindrical conductors, in the analysis of coil impedance changes caused by the presence of such conductors and in the prediction of impedance changes caused by subsurface discontinuities.(R11)(R12) An essential feature of Dodd and Deeds? analysis is that at typical eddy current frequencies, a multiple-turn coil wound with round insulated wire can be approximated bya current sheet, obtaining the electromagnetic field by superposition.
Na teoria de ensaios por correntes parasitas, o trabalho de Dodd e Deeds (R10) forneceu a base para um dos modelos mais populares. Com base em uma série de trabalhos anteriores, eles apresentaram soluções para distribuições de correntes parasitas, na forma de integrais de Fourier-Bessel, para diversas configurações de bobinas axissimétricas frequentemente encontradas em aplicações de ensaios por correntes parasitas. Essas soluções foram aplicadas ao cálculo de correntes parasitas produzidas por bobinas cilíndricas em condutores planos e cilíndricos, na análise de mudanças de impedância da bobina causadas pela presença de tais condutores e na previsão de mudanças de impedância causadas por descontinuidades no subsolo. (R11) (R12) Uma característica essencial da análise de Dodd e Deeds é que, em frequências típicas de correntes parasitas, uma bobina de múltiplas espiras enrolada com fio isolado circular pode ser aproximada por uma lâmina de corrente, obtendo-se o campo eletromagnético por superposição.

 The differential equation solved was Eq. 20 and the impedance of the coil was calculated from the following expression for axial symmetry:
A equação diferencial resolvida foi a Eq. 20 e a impedância da bobina foi calculada a partir da seguinte expressão para simetria axial:


Eq23

where Acs is the cross sectional area (square meter) and N is the number of turns in the coil. The superposition principle is applied by integrating the magnetic vector potential over the cross sectional area of the coil.
onde A cs é a área da seção transversal (metros quadrados) e N é o número de espiras na bobina. O princípio da superposição é aplicado integrando o potencial vetor magnético sobre a área da seção transversal da bobina.

 Closed form expressions for the electromagnetic field and the coil impedance were obtained for a variety of common test object geometries (Fig. 1): for a cylindrical coil of rectangular cross section above a layered plane, encircling a layered rod or inside a cylindrically layered bore hole. The spherical configuration of Fig. 1c was also considered but the particular case of a rectangular cross section coil was analyzed by Nikitin.(R13)(R14) Once the calculations are performed using a single coil, the analysis can be extended to multiple coil configurations simply by superimposing the solutions.(R11)(R15) Dodd’s models were also extended to an arbitrary number of layers, by using the matrix technique proposed by Cheng, Dodd and Deeds. (R16)(R18)
Expressões analíticas para o campo eletromagnético e a impedância da bobina foram obtidas para uma variedade de geometrias comuns de objetos de teste (Fig. 1): para uma bobina cilíndrica de seção transversal retangular acima de um plano estratificado, circundando uma haste estratificada ou dentro de um furo cilíndrico estratificado. A configuração esférica da Fig. 1c também foi considerada, mas o caso particular de uma bobina de seção transversal retangular foi analisado por Nikitin. (R13) (R14) Uma vez realizados os cálculos usando uma única bobina, a análise pode ser estendida para configurações de múltiplas bobinas simplesmente pela superposição das soluções. (R11) (R15) Os modelos de Dodd também foram estendidos para um número arbitrário de camadas, utilizando a técnica matricial proposta por Cheng, Dodd e Deeds. (R16) (R18)

F01aF01b
F01c
Ficure 1. Test object geometries for models of Dodd and Deeds:
(a) layered half space;
(b) layered bore hole;
(c) layered sphere.
Figura 1. Geometrias de objetos de teste para modelos de Dodd e Deeds:
(a) semi-espaço estratificado;
(b) furo estratificado;
(c) esfera estratificada.

For the case of a coil over a homogeneous conducting half space (Fig. 2a), the analytical expression for the coil impedance is given:
Para o caso de uma bobina sobre um semi-espaço condutor homogêneo (Fig. 2a), a expressão analítica para a impedância da bobina é dada por:

Eq24

onde:

Eq25

e:

Eq26

where a is the integration variable, J1(x) is the bessel function of the first kind and first order, l is the width of the coil (meter), lo is the liftoff (meter), r1 is the inner radius of the coil (meter), r2 is the outer radius of the coil (meter), μ is relative magnetic permeability (dimensionless), μo is magnetic permeability (henry per meter) of free space and  σ is conductivity (siemens per meter).
onde a é a variável de integração, J 1 (x) é a função de Bessel de primeira espécie e primeira ordem, l é a largura da bobina (metro), lo é a distância (metro), r 1 é o raio interno da bobina (metro), r 2 é o raio externo da bobina (metro), μ é a permeabilidade magnética relativa (adimensional), μ o é a permeabilidade magnética (henry por metro) do vácuo e  σ é a condutividade (siemens por metro).

F02aF02b
Legenda
r1 = coil inner radius = 2 mm (0.08 in.)
r2 = coil outer radius = 4 mm (0.16 in.)
l = coil width = 1 mm (0.04 in.)
μr = relative magnetic permeability of half space (ratio) = 1
σ = 35,4 MS-m-1 (61 percent International Annealed Copper Standard)

Ficure 2. Coil above metal plate:
(a) geometric configuration;
(b) normalized impedance plane display.
Legenda:
r 1 = raio interno da bobina = 2 mm (0,08 pol.)
r 2 = raio externo da bobina = 4 mm (0,16 pol.)
l = largura da bobina = 1 mm (0,04 pol.)
μ r = permeabilidade magnética relativa do semi-espaço (razão) = 1
σ = 35,4 MS-m -1 (61% do Padrão Internacional de Cobre Recozido)

Figura 2. Bobina acima da placa de metal:
(a) configuração geométrica;
(b) exibição do plano de impedância normalizado.

The eddy current density is calculated from the magnetic vector potential:
A densidade de corrente parasita é calculada a partir do potencial vetor magnético:

Eq27

In the case of a normal coil above a half-space conductor (Fig. 2a), the induced current density is as follows:
No caso de uma bobina normal acima de um condutor de semi-espaço (Fig. 2a), a densidade de corrente induzida é dada por:

Eq28

where J is the root mean square of the coil current.
onde J é a raiz quadrada média da corrente na bobina.

 Equations 24 and 28 involve the numerical computation of an infinite integral. Numerical integration techniques available in most numerical analysis software packages can be used to calculate the integrals.
As equações 24 e 28 envolvem o cálculo numérico de uma integral infinita. Técnicas de integração numérica disponíveis na maioria dos softwares de análise numérica podem ser usadas para calcular as integrais.

 Figure 2b is a computer generated impedance display for a surface coil. The impedance is depicted normalized, using the inductive reactance of the coil in air as the normalizing factor. (This quantity can also be computed from Eq. 24 by setting conductivity to zero, a1 = a). Such impedance displays demonstrate the optimum frequency for a specific test.
A Figura 2b é uma representação de impedância gerada por computador para uma bobina de superfície. A impedância é representada normalizada, usando a reatância indutiva da bobina no ar como fator de normalização. (Essa grandeza também pode ser calculada a partir da Eq. 24, definindo a condutividade como zero, a₁ = a). Essas representações de impedância demonstram a frequência ideal para um teste específico.

 This frequency is usually the one that produces the best phase difference between the loci of two parameters. The conducting half-space material is aluminum and the solid curve represents the locus produced by varying the excitation frequency. Because the conductivity and frequency always appear as a product in Eq. 22, the same curve would have been produced for a constant excitation frequency and a varying conductivity. The dashed lines are the liftoff curves and represent the impedance variation with coil liftoff. The dotted curves show the impedance variation with frequency for different magnetic permeabilities of the half-space material.
Essa frequência geralmente é aquela que produz a melhor diferença de fase entre os lugares geométricos de dois parâmetros. O material condutor do semi-espaço é o alumínio e a curva sólida representa o lugar geométrico produzido pela variação da frequência de excitação. Como a condutividade e a frequência sempre aparecem como um produto na Eq. 22, a mesma curva teria sido produzida para uma frequência de excitação constante e uma condutividade variável. As linhas tracejadas são as curvas de afastamento e representam a variação da impedância com o afastamento da bobina. As curvas pontilhadas mostram a variação da impedância com a frequência para diferentes permeabilidades magnéticas do material do semi-espaço.

 Figure 3 is an example of a computer generated display of eddy current contours induced bya surface coil at various frequencies. As expected, the higher frequencies result in a smaller penetration of the eddy currents in the conducting object. Using Eq. 28 for a variety of coils reveals that peak eddy current densities associated with larger coils fall off more slowly with depth than those produced by smaller coils. A similar investigation conducted by Mottl (R19) showed that the standard depth of penetration and linear-with-depth phase delay, obtained as solutions for the plane wave case, very rarely approximate the eddy current distribution in conducting samples beneath a real coil. The standard depth of penetration remains a material parameter rather than a real measure of penetration.
A Figura 3 é um exemplo de uma representação gerada por computador dos contornos das correntes parasitas induzidas por uma bobina de superfície em várias frequências. Como esperado, as frequências mais altas resultam em uma menor penetração das correntes parasitas no objeto condutor. Usando a Equação 28 para uma variedade de bobinas, observa-se que as densidades de pico das correntes parasitas associadas a bobinas maiores diminuem mais lentamente com a profundidade do que aquelas produzidas por bobinas menores. Uma investigação semelhante conduzida por Mottl (R19) mostrou que a profundidade de penetração padrão e o atraso de fase linear com a profundidade, obtidos como soluções para o caso de onda plana, raramente se aproximam da distribuição de correntes parasitas em amostras condutoras sob uma bobina real. A profundidade de penetração padrão permanece um parâmetro do material, e não uma medida real de penetração.

F03a
F03b
F03c

Ficure 3. Contours of eddy currents induced by surface coil at various frequencies:
(a) 1 kHz;
(b) 10 kHz;
(c) 100 kHz.
Figura 3. Contornos das correntes parasitas induzidas por bobina de superfície em várias frequências:
(a) 1 kHz;
(b) 10 kHz;
(c) 100 kHz.

The Dodd and Deeds models have been proven very useful because they were successful in predicting experimental data from eddy current measurements. Since the 1970s, they have been widely used by the nondestructive testing community in the design of eddy current tests. More specifically, they have been used to optimize general types of eddy current tests such as thickness and conductivity measurements, to optimize specific tests for specific problems and to help design general induction instrumentation for process control.
Os modelos de Dodd e Deeds provaram ser muito úteis, pois foram bem-sucedidos na previsão de dados experimentais de medições de correntes parasitas. Desde a década de 1970, eles têm sido amplamente utilizados pela comunidade de ensaios não destrutivos no projeto de testes por correntes parasitas. Mais especificamente, têm sido usados ​​para otimizar tipos gerais de testes por correntes parasitas, como medições de espessura e condutividade, para otimizar testes específicos para problemas específicos e para auxiliar no projeto de instrumentação de indução geral para controle de processos.


2.4 EXTENSÕES DOS MODÊLOS DE DODD E DEEDS
The Dodd and Deeds models assume a harmonic time variation for the solution of the diffusion equation. Similar modeling techniques can be used in the case of transient coil excitations, such as step time functions or rectangular pulses. These current excitations are used in the pulsed eddy current technique, which is applied to either metal loss or crack detection at greater depths.
Os modelos de Dodd e Deeds assumem uma variação harmônica no tempo para a solução da equação de difusão. Técnicas de modelagem semelhantes podem ser usadas no caso de excitações transientes de bobinas, como funções de tempo em degrau ou pulsos retangulares. Essas excitações de corrente são usadas na técnica de correntes parasitas pulsadas, que é aplicada à detecção de perdas de metal ou trincas em maiores profundidades.

Além da superposição de bobinas, diferentes frequências também podem ser sobrepostas para obter a resposta de um sistema de correntes parasitas transientes. Uma técnica simples para avaliar campos transientes é obter, por meio de uma transformada de Fourier, o espectro de frequência do pulso de corrente de excitação e calcular a resposta de tensão em cada frequência, adquirindo assim o espectro de tensão-frequência. A resposta de tensão transiente é então obtida por uma transformada inversa de Fourier. Uma vantagem distinta dessa técnica é que ela pode ser aproximada numericamente usando a transformada rápida de Fourier. Bowler (R20) usa essa abordagem para uma excitação pulsada com a forma de uma função degrau com a bobina localizada acima de um sistema estratificado. consistindo em duas placas. A configuração imita geometrias encontradas na detecção e identificação de metal em juntas sobrepostas de aeronaves.
Outra técnica para avaliar campos transientes é calcular a transformada de Laplace das equações de campo, resolver as equações transformadas e recuperar o comportamento no domínio do tempo por meio de uma transformada inversa de Laplace. Essa abordagem é seguida por Waidelich (R21) , Ludwig (R22) , Sapunov (R23) e Bowler (R24) para obter a resposta de tensão de uma bobina situada acima de um plano condutor estratificado. No caso de um semi-espaço condutor homogêneo ou para sistemas de placas finas simples (R25) , a transformada inversa de Laplace pode ser obtida analiticamente, mas no caso de um semi-espaço estratificado isso não é possível e técnicas numéricas são necessárias para obter a resposta em função do tempo. Nessa situação, uma rotina numérica robusta deve ser usada para calcular a transformada inversa de Laplace. Em outras situações, é preferível trabalhar com a solução no domínio da frequência, como já descrito, usando a transformada de Fourier.
In addition to coil superposition, different frequencies can also be superimposed to obtain the response of a transient eddy current system. A simple technique of evaluating transient fields is to obtain, through a fourier transform, the frequency spectrum of the excitation current pulse and to calculate the voltage response at each frequency, thus acquiring the voltage frequency spectrum. The transient voltage response is then obtained by an inverse fourier transform. A distinct advantage of this technique is that it can be approximated numerically using the fast fourier transform. Bowler (R20) uses this approach for a pulsed excitation having the form of a step function with the coil located above a layered system. consisting of two slabs. The configuration mimics geometries encountered in the detection and identification of the metal  in lap joints of aircraft.
Another technique of evaluating transient fields is to compute the laplace transform of the field equations, solve the transformed equations and recover the time domain behavior through an inverse laplace transform. This approach is followed by Waidelich(R21),  Ludwig(R22),  Sapunov(R23) and Bowler(R24) to obtain the voltage response of a coil situated above a layered conducting plane. In the case of a homogeneous conducting half space or for simple thin plate systems(R25), the inverse laplace transform can be obtained analytically but in the case of a layered half space this is not possible and numerical techniques are needed to obtain the response as a function of time. In the above situation, a robust numerical routine should be used for computing the inverse laplace transform. In other situations, it is preferable to work with the frequency domain solution, as already described, using the fourier transform.

As Figuras 4 a 6 mostram as respostas de tensão obtidas para o caso descrito por Bowler.² A resposta de tensão é calculada avaliando-se numericamente a transformada inversa de Laplace. Observa-se que certas características do pulso, como a amplitude, o tempo de chegada do máximo e o ponto de cruzamento, são sensíveis a diferentes características geométricas, possibilitando assim a estimativa da perda no metal.
Figures 4 to 6 show voltage responses derived for the case described by Bowler.2° The voltage response is computed by numerically evaluating the inverse laplace transform. It is observed that certain features of the pulse, such as the amplitude of the pulse, the time of arrival of the maximum and the cross point, are sensitive to different geometry characteristics, thus making possible the estimation of metal loss.

F04a
F04b
Legenda:
F04L
Ficure 4. Top plate metal loss in system of two plates:
(a) setup;
(b) transient electric potential.
Depicted signal is coil voltage subtracted from response of same coil due to conducting half space.
Percentage of parameter variation is in terms of thickness of one slab.
Figura 4. Perda metálica na placa superior em um sistema de duas placas:
(a) configuração;
(b) potencial elétrico transiente.
O sinal apresentado é a tensão da bobina subtraída da resposta da mesma bobina devido ao semi-espaço condutor.
A porcentagem de variação do parâmetro é em função da espessura de uma placa.

F05a
F05b
Legenda:
F04L
Ficure 5. Plate separation in system of two plates:
(a) setup;
(b) transient electric potential.
Depicted signal is coil voltage subtracted from response of same coil due to conducting half space.
Percentage of parameter variation is in terms of thickness of one slab.
Figura 5. Separação entre placas em um sistema de duas placas:
(a) configuração;
(b) potencial elétrico transiente.
O sinal apresentado é a tensão da bobina subtraída da resposta da mesma bobina devido ao semi-espaço condutor.
A porcentagem de variação do parâmetro é em função da espessura de uma placa.


F06a
F06b
Legenda:
F04L
Ficure 6. Bottom plate metal loss above system of two plates:
(a) setup;
(b) transient electric potential.
Depicted signal is coil voltage subtracted from response of same coil due to conducting half space.
Percentage of parameter variation is in terms of thickness of one slab.
Figura 6. Perda metálica na placa inferior acima do sistema de duas placas:
(a) configuração;
(b) potencial elétrico transiente.
O sinal apresentado é a tensão da bobina subtraída da resposta da mesma bobina devido ao semi-espaço condutor.
A porcentagem de variação do parâmetro é em função da espessura de uma placa.

Other extensions of Dodd’s modeling technique concern the conductivity and permeability profiles of the test objects. Applications include case hardening, heat treatment, ion bombardment or chemical processes, which produce smoothly varying near surface conductivity and permeability profiles. In these cases, where for example the conductivity σ(z) in Eq. 20 is a continuous function of depth, the electromagnetic field and the impedance of the coil can be evaluated in two ways.
Outras extensões da técnica de modelagem de Dodd dizem respeito aos perfis de condutividade e permeabilidade dos objetos de teste. As aplicações incluem têmpera superficial, tratamento térmico, bombardeio iônico ou processos químicos, que produzem perfis de condutividade e permeabilidade próximos à superfície com variação suave. Nesses casos, onde, por exemplo, a condutividade σ (z) na Eq. 20 é uma função contínua da profundidade, o campo eletromagnético e a impedância da bobina podem ser avaliados de duas maneiras.

 The first is to solve Eq. 20 analytically for special forms of conductivity variations. Such solutions that result in closed form expressions involving higher transcendental functions have been derived by many researchers for specific functions not only of conductivity but also of magnetic permeability profiles.(R26)(R29) This approach is much faster than the more general piecewise approach described next.
A primeira é resolver a Eq. 20 analiticamente para formas especiais de variações de condutividade. Tais soluções, que resultam em expressões de forma fechada envolvendo funções transcendentais de ordem superior, foram derivadas por muitos pesquisadores para funções específicas não apenas de condutividade, mas também de perfis de permeabilidade magnética. (R26) (R29) Essa abordagem é muito mais rápida do que a abordagem por partes mais geral descrita a seguir.

Como discutido acima, Cheng (R17) estendeu os modelos de Dodd e Deed para regiões estratificadas com um número arbitrário de camadas. Se os perfis contínuos de condutividade e permeabilidade forem substituídos por perfis constantes por partes, então é possível aproximar numericamente a impedância da bobina implementando a técnica acima. Quanto maior o número de camadas, melhor a aproximação. Usando esta técnica, Uzal (R26)estudou o problema de um condutor revestido cuja condutividade do revestimento variava continuamente com a profundidade e a permeabilidade. Embora esta técnica seja mais lenta do que a baseada na solução analítica para cada perfil específico, ela é mais geral e particularmente útil quando se deseja resolver o problema inverso, ou seja, avaliar o perfil a partir de medições de frequência variável. A abordagem por partes também foi estendida a objetos de teste cilíndricos e esféricos por Uzal e Theodoulidis, respectivamente. (R30) (R31)
As discussed above, Cheng (R17) extended Dodd and Deed’s models to layered regions with an arbitrary number of layers. If continuous conductivity and permeability profiles are replaced with piecewise constant profiles, then it is possible to approximate numerically the coil impedance by implementing the above technique. The greater the number of layers, the better the approximation. Using this technique, Uzal (R26) studied the problem of a coated conductor whose coating conductivity varied continuously with depth and permeability. Although this technique is slower than the one based on the analytical solution for each specific profile, it is more general and particularly useful when it is desired to solve the inverse problem, that is, to evaluate the profile from variable frequency measurements. The piecewise approach was also extended to cylindrical and spherical test objects by Uzal and Theodoulidis, respectively. (R30)(R31)


2.5 MODÊLOS TRIDIMENSIONAIS
Os modelos descritos até agora são bidimensionais e axissimétricos. Sua simplicidade reside no fato de o potencial vetor magnético ter apenas uma componente e a técnica de separação de variáveis ​​ser aplicável. Uma quantidade significativa de trabalhos aborda modelos de bobinas com formatos diferentes da bobina cilíndrica clássica ou posições que destroem a axissimetria. Um problema de grande interesse é a avaliação do campo eletromagnético tridimensional para uma bobina com formato e orientação arbitrários sobre um semi-espaço condutor.
The models described so far are two-dimensional and axisymmetric. Their simplicity lies in the fact that the magnetic vector potential has only one component and the technique of separation of variables is applicable. A significant amount of work concerns models of coils that have shapes other than the classical cylindrical coil or positions that destroy the axisymmetry. A problem of great interest is the evaluation of the three-dimensional electromagnetic field for a coil with an arbitrary shape and orientation above a conducting half space.

Weaver (R32) apresentou uma teoria geral da indução eletromagnética em um semi-espaço condutor por uma fonte magnética externa usando os vetores de Hertz elétrico e magnético, enquanto Hannakam (R33) forneceu soluções para uma bobina filamentar usando a formulação similar do potencial vetor de segunda ordem. Com base nesta última formulação, Kriezis (R34) avaliou a densidade de corrente parasita induzida em um semi-espaço condutor por uma bobina filamentar cujo eixo é paralelo à superfície.
Weaver (R32) presented a general theory of electromagnetic induction in a conducting half space by an external magnetic source using the electric and magnetic hertz vectors whereas Hannakam (R33) provided solutions for a filamentary coil using the similar second order vector potential formulation. Based on the latter formulation, Kriezis (R34) evaluated the eddy current density induced in a conducting half space by a filamentary coil whose axis is parallel to the surface.

Outros pesquisadores, como Beissner e Bowler (R35), têm preferido as funções diádicas de Green na resolução do problema. Bowler conseguiu apresentar expressões analíticas para a densidade de correntes parasitas de uma bobina cilíndrica orientada verticalmente sobre um semi-espaço condutor, estendendo assim os resultados de Kriezis para uma bobina de sonda de correntes parasitas de seção transversal finita. Beissner (R37) e Tsaknakis (R38) apresentaram fórmulas para a distribuição de correntes parasitas provenientes de fontes cilindricamente simétricas inclinadas em um ângulo arbitrário em relação à normal da superfície. A solução geral para uma fonte não simétrica assume a forma de uma integral de Fourier bidimensional.
Other researchers like Beissner?S and Bowler (R35) have favored Green’s dyadic functions in solving the problem. Bowler was able to present analytical expressions for the eddy current density of a vertically oriented cylindrical coil over a conducting half space, thus extending the results of Kriezis to an eddy current probe coil of finite cross section. Beissner (R37) and Tsaknakis (R38) presented formulas for the eddy current distribution from. cylindrically symmetric sources inclined at an arbitrary angle with respect to the surface normal. The general solution for a nonsymmetric source is in the form of a two-dimensional fourier integral.

Os cálculos numéricos para o caso não simétrico são, portanto, mais exigentes do que aqueles necessários para avaliar os campos a partir das fórmulas de Dodd e Deeds, onde as integrais são unidimensionais. Um modelo semianalítico também foi apresentado por Juillard (R39) para o mesmo problema, onde a bobina é dividida em vários elementos denominados fontes de corrente pontuais. O problema é resolvido para cada fonte de corrente pontual e a superposição é aplicada para calcular o campo eletromagnético de toda a bobina. Outra técnica para calcular o campo magnético, baseada na transformada de Fourier, foi apresentada por Panas (R40) e Sadeghi (R41), que resolveram o problema de uma bobina elíptica e de uma bobina retangular em posição inclinada, respectivamente.
Numerical computations for the nonsymmetric case are therefore more demanding than those needed to evaluate fields from Dodd and Deeds formulas, where the integrals are one-dimensional. A semianalytical model was also presented by Juillard (R39) for the same problem where the coil is divided in a number of elements called point current sources. The problem is solved for each point current source and superposition is applied to compute the electromagnetic field from the whole coil. Another technique for computing the magnetic field, based on the fourier transform, was presented by Panas (R40) and Sadeghi, (R41) who solved the problem of an elliptical coil and a rectangular coil in an inclined position, respectively.

Uma conclusão importante de todos esses estudos é que as correntes parasitas induzidas no condutor fluem paralelamente à superfície do condutor, independentemente da forma da bobina indutora. As Figuras 7 e 8 mostram as correntes parasitas induzidas na superfície de um semi-espaço metálico condutor por uma bobina retangular quando a bobina está paralela e perpendicular ao metal.
An important conclusion of all these studies is that the eddy currents induced in the conductor flow parallel to the surface of the conductor, irrespective of the shape of the inducing coil. Figures 7 and 8 show the eddy currents induced on the surface of a conducting metal half space from a rectangular coil when the coil is parallel and perpendicular to the metal.

F07aF07b
Ficure 7. Eddy current testing with rectangular coil parallel to test object:
(a) setup;
(b) eddy current pattern.
Figura 7. Teste de correntes parasitas com bobina retangular paralela ao objeto de teste:
(a) configuração;
(b) padrão de correntes parasitas.

F08aF08b
Ficure 8. Eddy current testing with rectangular coil perpendicular to test object:
(a) setup;
(b) eddy current pattern.
Figura 8. Teste de correntes parasitas com bobina retangular perpendicular ao objeto de teste:
(a) configuração;
(b) padrão de correntes parasitas.

O problema de uma bobina de formato arbitrário adjacente a um sistema condutor cilíndrico foi estudado por Hannakam (R42) com o potencial vetorial de segunda ordem e por Grimberg (R43) (R44) com funções de Green diádicas. Hannakam (R45) , Theodoulidis (R46) e Mrozynski (R47) estenderam a formulação do potencial vetorial de segunda ordem no sistema de coordenadas esféricas para resolver o problema de uma bobina de formato arbitrário adjacente a uma esfera condutora. Uma conclusão importante foi que as correntes parasitas fluem em superfícies esféricas concêntricas à superfície do condutor.
The problem of an arbitrarily shaped coil beside a cylindrical conducting system was studied by Hannakam (R42) with the second order vector potential and by Grimberg (R43)(R44) with dyadic Green’s functions. Hannakam, (R45) Theodoulidis (R46) and Mrozynski (R47) extended the second order vector potential formulation in the spherical coordinate system to solve for an arbitrarily shaped coil beside a conducting sphere. An important conclusion was that the eddy currents flow in spherical surfaces concentric with the conductor’s surface.

Todas as soluções analíticas acima mencionadas referem-se ao campo eletromagnético, com ênfase na densidade de correntes parasitas induzidas. A variação da impedância da bobina, por outro lado, é calculada em duas etapas: (1) primeiro, o problema tridimensional da avaliação do campo eletromagnético é resolvido analiticamente e (2) em seguida, aplica-se a expressão geral da variação da impedância de uma bobina. Uma expressão para a variação da impedância foi derivada por Auld (R48) . Demonstrou-se, por meio do teorema da reciprocidade de Lorenz, que a variação da impedância de uma sonda de correntes parasitas na presença de uma descontinuidade é expressa em termos de uma integral avaliada sobre qualquer superfície fechada S que contenha a descontinuidade.
 All of the above analytical solutions concern the electromagnetic field with emphasis on the induced eddy current density. The impedance change of the coil, on the other hand, is calculated in two steps: (1) first the three-dimensional problem of evaluating the electromagnetic field is solved analytically and (2) then the general expression of the impedance change of a coil is applied. An impedance change expression was derived by Auld.(R48) It was shown, through the lorenz reciprocity theorem, that the change in the impedance of an eddy current probe in the presence of a discontinuity is expressed in terms of an integral evaluated over any closed surface S containing the discontinuity.

Eq29

where n is the unit vector normal to the surface and where E and H are the electric and magnetic field intensities; the primed symbols denote the fields in the presence of the discontinuity and the unprimed symbols denote the fields in the absence of the discontinuity. The ΔZ formula is well suited to derivation of general expressions and can also be used effectively to compute the impedance change of a coil in canonical problems.5 This development is significant because the coil geometry does not appear explicitly (no integrals appear over the volume of the coil) and allows the choice of planar, cylindrical and spherical boundaries in keeping with the symmetry of the problem.
onde n é o vetor unitário normal à superfície e onde E e H são as intensidades dos campos elétrico e magnético; os símbolos com apóstrofo denotam os campos na presença da descontinuidade e os símbolos sem apóstrofo denotam os campos na ausência da descontinuidade. A fórmula ΔZ é adequada para a derivação de expressões gerais e também pode ser usada efetivamente para calcular a variação de impedância de uma bobina em problemas canônicos.⁵ Este desenvolvimento é significativo porque a geometria da bobina não aparece explicitamente (nenhuma integral aparece sobre o volume da bobina) e permite a escolha de condições de contorno planas, cilíndricas e esféricas, em consonância com a simetria do problema.

No caso particular de uma bobina com forma e orientação arbitrárias, sobre um semi-espaço condutor, a superfície de integração coincide com a superfície do semi-espaço, fechada por uma superfície no infinito, que não contribui. Seguindo essa abordagem e resolvendo analiticamente o campo eletromagnético tridimensional, Burke* apresentou a seguinte expressão geral para a impedância de qualquer bobina sobre um semi-espaço condutor:
In the particular case of a coil with arbitrary shape and orientation, above a conducting half space, the surface of integration coincides with the surface of the half space, closed by a surface at infinity, which makes no contribution. Following this approach and solving analytically for the three-dimensional electromagnetic field, Burke*?>° presented the following general expression for the impedance of any coil over a conducting half space:

Eq30

where uw andv are integration variables,
onde μ e v são variáveis ​​de integração,


Eq31

e:

Eq32

O termo B^5z(μ,v) denota a transformada dupla de Fourier da componente normal do campo magnético da fonte na superfície do plano metálico. Para formas de bobina simples, possui uma expressão analítica em termos de μ e v. Para formas mais complexas, deve ser calculado numericamente usando a lei de Biot-Savart. A mesma abordagem foi seguida por Theodoulidiss (R51) (R52) para avaliar a impedância de uma bobina retangular sobre um semi-espaço condutor e foi posteriormente estendida a coordenadas cilíndricas para avaliar a impedância de uma bobina em posição deslocada em relação a um tubo, simulando assim o sinal de oscilação presente durante os testes de tubo.
The term B^5z(μ,v) denotes the double fourier transform of the normal component of the source magnetic field on the surface of the metal plane. For simple coil shapes, it has an analytical expression in terms of μ and v. For more complex shapes, it has to be calculated numerically using the Biot-Savart law. The same approach was followed by Theodoulidiss (R51)(R52) for evaluating the impedance of a rectangular coil over a conducting half space and was further extended to cylindrical coordinates for evaluating the impedance of a bobbin coil in an offset position to a tube, thus simulating the wobble signal present during tube tests.


2.6 PERTURBAÇÃO E EXPANSÃO DA FUNÇÃO DE ENGEN
The class of problems that can be solved analytically can be extended with the aid of perturbation techniques, which are often used to provide solutions to physical problems that would otherwise be difficult or time consuming to treat. Perturbation techniques are inherently approximate and their main applicability is in the modeling of discontinuities. Such techniques can be used by assuming that the conductivities of the discontinuity and the surrounding medium do not differ very much or by considering limiting cases such as a high frequency limit. (R53)
A classe de problemas que podem ser resolvidos analiticamente pode ser estendida com o auxílio de técnicas de perturbação, frequentemente utilizadas para fornecer soluções a problemas físicos que, de outra forma, seriam difíceis ou demorados de tratar. As técnicas de perturbação são inerentemente aproximadas e sua principal aplicabilidade reside na modelagem de descontinuidades. Tais técnicas podem ser utilizadas assumindo-se que as condutividades da descontinuidade e do meio circundante não diferem muito ou considerando-se casos limite, como um limite de alta frequência. (R53)

 Nevertheless, perturbation techniques have also been applied to models of canonical problems. A technique called the layer approximation, based on the analytic transfer matrix solution for the electric field in a layered metal, was used by Satveli (R54) to calculate the impedance change in a number of canonical problems. Burkes (R55) also has presented a perturbation technique, which enables the impedance computation in the high frequency limit when the conducting region is canonical. The technique was applied to the cases of a two-dimensional conducting wedge anda slot in a conducting half space.
Não obstante, as técnicas de perturbação também têm sido aplicadas a modelos de problemas canônicos. Uma técnica denominada aproximação de camadas, baseada na solução analítica da matriz de transferência para o campo elétrico em um metal estratificado, foi utilizada por Satveli (R54) para calcular a variação de impedância em diversos problemas canônicos. Burkes (R55) também apresentou uma técnica de perturbação que permite o cálculo da impedância no limite de alta frequência quando a região condutora é canônica. A técnica foi aplicada aos casos de uma cunha condutora bidimensional e uma fenda em um semi-espaço condutor.

 Eigenfunction expansions can also be used to further extend the class of problems that can be solved analytically. (R56)(R58) The problem is again solved using separation of variables; because the region of interest is finite, however, extra boundary conditions limit the domain of the solution. Asa result, the solution involves series instead of integrals. The coefficients of the series are computed by solving a matrix system, which is formed by imposing the interface and boundary conditions of the problem.
Expansões de autofunções também podem ser usadas para ampliar ainda mais a classe de problemas que podem ser resolvidos analiticamente. (R56) (R58) O problema é resolvido novamente usando separação de variáveis; como a região de interesse é finita, condições de contorno adicionais limitam o domínio da solução. Como resultado, a solução envolve séries em vez de integrais. Os coeficientes da série são calculados resolvendo-se um sistema matricial, formado pela imposição das condições de interface e de contorno do problema.

O cálculo numérico dos coeficientes classifica a técnica como semianalítica. A técnica foi efetivamente usada por Theodoulidis (R59) para derivar uma expressão para a impedância de uma bobina de sonda com núcleo de ferrite sobre um semi-espaço condutor em camadas.
 The numerical computation of the coefficients classifies the technique as semianalytical. The technique was effectively used by Theodoulidis (R59) to derive an expression for the impedance of a ferrite cored probe coil over a conducting layered half space.


2.7 CONCLUSÕES
As soluções analíticas em ensaios por correntes parasitas, embora restritas a certas geometrias em comparação com as soluções numéricas mais gerais, possuem uma forma explícita e fechada. Os modelos não são computacionalmente intensivos e oferecem soluções precisas. Eles têm escopo limitado, mas não valor limitado.
Analytical solutions in eddy current testing, although restricted to certain geometries as compared to the more general numerical solutions, have an explicit and closed form. The models are not computationally intensive and offer accurate solutions. They have limited scope but not limited value.

Sempre que plausível, as soluções analíticas são preferíveis às numéricas porque são mais fáceis de aplicar, menos dispendiosas computacionalmente, mais precisas e, finalmente, permitem estudos paramétricos fáceis da geometria do ensaio.
Whenever plausible, analytical solutions are preferable to numerical ones because they are easier to apply, are less expensive to compute, are more accurate and finally allow for easy parametric studies of the test geometry.


3. MODÊLOS ANALÍTICOS E INTEGRAL PARA SIMULAR TRINCAS


4. MODÊLO COMPUTACIONAL DO CAMPO DE CORRENTES PARASITAS





Autores:
  • Lalita S. Upda, Michigan State University, East Lansing, Michigan
  • Nathan Ida, University of Akron, Akron, Ohio (Parts 1 and 4)
  • John R. Bowler, Iowa State University, Ames, Iowa (Part 3)
  • Theodoros Theodoulidis, Aristotle University of Thessaloniki, Thessaloniki, Greece (Part 2)


Referências
  1. Maxwell, J.C. A Treatise on Electricity and Magnetism, third edition. New York, NY: Dover Publications (1891).
  2. Ida, N. Section 19, “Computer Modeling of Eddy Current Fields.” Nondestructive Testing Handbook, second edition: Vol. 4, Electromagnetic Testing. Columbus, OH: American Society for Nondestructive Testing (1986): p 562-590.
  3. McNab, A. “A Review of Eddy Current System Technology.” British Journal of Non-Destructive Testing. Vol. 30, No. 7. Northampton, United Kingdom: British Institute of Non-Destructive Testing July 1988): p 249-255.
  4. Auld, B.A. “John Moulder and the Evolution of Model-Based Quantitative Eddy Current NDE.” Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation. Vol. 18A. New York, NY: Kluwer/Plenum. (1999): p 441-448.
  5. Auld, B.A. and J.C. Moulder. “Review of Advances in Quantitative Eddy Current Nondestructive Evaluation.” Journal ofNondestructive Evaluation. Vol. 18, No. 1. New York, NY: Plenum (1999): p 3-36.
  6. Becker, R., K. Betzold, K.D. Boness, R. Collins, C.C. Holt and J. Simkin. “The Modeling of Electrical Current NDT Methods and Its Applications to Weld Testing.” Vol. 28. British Journal of Non-Destructive Testing. Northampton, United Kingdom: British Institute of Non-Destructive Testing. “Part 1” (September 1986): p 286-294. “Part 2” (November 1986): p 361-370.
  7. Ida, N. Numerical Modeling for Electromagnetic Non-Destructive Evaluation. London, United Kingdom: Chapman and Hall (1995).
  8. Smythe, W.R. Static and Dynamic Electricity. New York, NY: McGraw-Hill (1968).
  9. Tegopoulos, J.A. and E.E. Kriezis. Eddy Currents in Linear Conducting Media. Amsterdam, Netherlands: Elsevier Science Publishers (1985).
  10. Dodd, C.V. and W.E. Deeds. “Analytical Solutions to Eddy-Current Probe-Coil Problems.” Journal of Applied Physics. Vol. 39, No. 6. Melville, NY: American Institute of Physics (1968): p 2829-2838.
  11. Dodd, C.V., W.E. Deeds and J.W. Luquire. “Integral Solutions to Some Eddy Current Problems.” International Journal of Nondestructive Testing. Vol. 1. Kidlington, United Kingdom: Elsevier Science Limited (1969): p 29-90.
  12. Luquire, J.W., W.E. Deeds and C.V. Dodd. “Axially Symmetric Eddy Currents in a Spherical Conductor.” Journal of Applied Physics. Vol. 41, No. 10. Melville, NY: American Institute of Physics (1970): p 3976-3982.
  13. Nikitin, A.I. “Effect of a Spherical Conducting Body on the Parameters of Eddy-Current Probes.” Russian Journal of Nondestructive Testing. New York, NY: Plenum/Consultants Bureau (1969): p 144-151.
  14. Nikitin, A.I. and L.V. Babushkina. “Solution of the Problem of Eddy Currents in a Conducting Sphere Situated in the Field of a Superposed Transducer.” Russian Journal of Nondestructive Testing. New York, NY: Plenum/Consultants Bureau (1989): p 863-869.
  15. Dodd, C.V. “The Use of Computer Modeling for Eddy-Current Testing.” Research Techniques in Nondestructive Testing. Vol. 3. New York, NY: Academic Press (1977): p 429-479.
  16. Luquire, J.W., W.E. Deeds and 16. 12. C.V. Dodd. “Alternating Current Distribution between Planar Conductors.” Journal of Applied Physics. Vol. 41, No. 10. Melville, NY: American Institute of Physics (1970): p 3983-3991.
  17. Cheng, C.C., C.V. Dodd and W.E. Deeds. “General Analysis of Probe Coils near Stratified Conductors.” International Journal of Nondestructive Testing. Vol. 3. Kidlington, United Kingdom: Elsevier Science Limited (1971): p 109-130.
  18. Dodd, C.V., C.C. Cheng and W.E. Deeds. “Induction Coils Coaxial with an Arbitrary Number of Cylindrical Conductors.” Journal of Applied Physics. Vol. 45, No. 2. Melville, NY: American Institute of Physics (1974): p 638-647.
  19. Mottl, Z. “The Quantitative Relations between True and Standard Depth of Penetration for Air-Cored Probe Coils in Eddy Current Testing.” NDT International. Vol. 23, No. 1. Kidlington, United Kingdom: Elsevier Science Limited (1990): p 11-18.
  20. Bowler, J.R. “Transient Eddy Currents in Layered Media As a Model of Corrosion Detection.” Nondestructive Testing and Evaluation. Vol. 6. New York, NY: Gordon and Breach Science Publishers (1992): p 315-322.
  21. Waidelich, D.L. “Pulsed Eddy-Current Testing of Steel Sheets.” Eddy Current Characterization of Materials and Structures. Special Technical Publication 722. West Conshohocken, PA: ASTM 22. 23. International (1981): p 367-373.
  22. Ludwig, R. and X.-W. Dai. “Numerical and Analytical Modeling of Pulsed Eddy Currents in a Conducting Half-Space.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 26, No. 1. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1990): p 299-307.
  23. Sapunov, V.M. and P.I. Beda. “Eddy-Current Inspection of Sheet of Nonmagnetic Material by Superposed Transducer Excited by Pulsed Current with Nonideal Shape.” Russian Journal of Nondestructive Testing. Vol. 27, No. 10. New York, NY: Plenum/Consultants Bureau (1991): p 743-750.
  24. Bowler, J. and M. Johnson. “Pulsed Eddy-Current Response to a Conducting Half-Space.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 33, No. 3. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1997): p 2258-2264.
  25. Burke, S.K., G.R. Hugo and DJ. Harrison. “Transient Eddy-Current NDE for Hidden Corrosion in Multilayer Structures.” Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation [San Diego, CA, July-August 1997]. Vol. 17A. New York, NY: Plenum (1998): p 307-314.
  26. Uzal, E., J.C. Moulder, S. Mitra and J.-H. Rose. “Impedance of Coils over Layered Metals with Continuously Variable Conductivity and Permeability: Theory and Experiment.” Journal ofApplied Physics. Vol. 74, No. 3. Melville, NY: American Institute of Physics (1993): p 2076-2089.
  27. Kolyshkin, A.A. and R. Vaillancourt. “Analytical Solutions to Eddy-Current Testing Problems for a Layered Medium with Varying Properties.” [EEE Transactions on Magnetics. Vol. 33, No. 4. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1997): p 2473-2477.
  28. Kolyshkin, A.A. and R. Vaillancourt. “Series Solution of an Eddy-Current Problem for a Sphere with Varying Conductivity and Permeability Profiles.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 35, No. 6. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1999): p 4445-4451.
  29. Theodoulidis, T.P., T.D. Tsiboukis and E.E. Kriezis. “Analytical Solutions in Eddy Current Testing of Layered Metals with Continuous Conductivity Profiles.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 31, No. 3. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1995): p 2254-2260.
  30. Uazal, E., I. Ozkol and M.O. Kaya. “Impedance of a Coil Surrounding an Infinite Cylinder with an Arbitrary Radial Conductivity Profile.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 34, No. 1. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1998): p 213-217.
  31. Theodoulidis, T.P. and E.E. Kriezis. “Coil Impedance Due to a Sphere of Arbitrary Radial Conductivity and Permeability Profiles.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 38, No. 3. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (2002): p 1452-1460.
  32. Weaver, J.T. “The General Theory of Electromagnetic Induction in a Conducting Half-Space.” Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. Vol. 22. Oxford, United Kingdom: Blackwell Scientific Publications, for the Royal Astronomical Society (1970): p 83-100.
  33. Hannakam, L. “Wirbelstrome in Leitenden Halbraum bei Beliebiger Form der Erregenden Leiterschleife.” Archiv fiir Elektrotechnik. Vol. 54. Berlin, Germany: Springer-Verlag (1972): p 251-261.
  34. Kriezis, E.E. and LE. Xypteras. “Eddy Current Distribution and Loss in a Semi-Infinite Conducting Space Due to Vertical Current Loop.” ETZ Archiv. Berlin, Germany: VDE-Verlag (1979): p 201-207.
  35. Beissner, R.E. “Analytic Green’s Dyads for an Electrically Conducting Half-Space.” Journal ofApplied Physics. Vol. 60, No. 3. Melville, NY: American Institute of Physics (1986): p 855-858.
  36. Bowler, J.R. “Eddy Current Calculations Using Half-Space Green’s Functions.” Journal ofApplied Physics. Vol. 61, No. 3. Melville, NY: American Institute of Physics (1987): p 833-839.
  37. Beissner, R.E. and M.J. Sablik. “Theory of Eddy Currents Induced by a Nonsymmetric Coil above a Conducting Half-Space.” Journal of Applied Physics. Vol. 56, No. 2. Melville, NY: American Institute of Physics (1984): p 448-454.
  38. Tsaknakis, H.J. and E.E. Kriezis. “Field Distribution Due to a Circular Current Loop Placed in an Arbitrary Position above a Conducting Plate” IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing. Vol. 23, No. 4. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1985): p 834-840.
  39. Juillard, J., B. Barmon and G. Berthiau. “Simple Analytical Three-Dimensional Eddy-Current Model.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 36, No. 1. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (2000): p 258-266.
  40. Panas, S.M. and A.G. Papayiannakis. “Eddy Currents in an Infinite Slab Due to an Elliptic Current Excitation.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 27, No. 5. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1991): p 4328-4337.
  41. Sadeghi, S.H.H. and A.H. Salemi. “Electromagnetic Field Distributions around Conducting Slabs, Produced by Eddy-Current Probes with Arbitrary Shape Current-Carrying Excitation Loops.” IEE Proceedings: Science, Measurement and Technology. Vol. 148, No. 4. London, United Kingdom: Institution of Electrical Engineers (2001): p 187-192.
  42. Hannakam, L. “Wirbelstrome in einem Massiven Zylinder bei Beliebig Geformter Erregender Leiterschleife.” Archiv fiir Elektrotechnik. Vol. 55. Berlin, Germany: Springer-Verlag (1973): p 207-215.
  43. Grimberg, R., E. Radu, O. Mihalache and A. Savin. “Calculation of the Induced Electromagnetic Field Created by an Arbitrary Current Distribution Located outside a Conductive Cylinder.” Journal of Physics D: Applied Physics. Vol. 30. Melville, NY: American Institute of Physics (1997): p 2285-2291.
  44. Grimberg, R., A. Savin, E. Radu and O. Mihalache. “Nondestructive Evaluation of the Severity of Discontinuities in Flat Conductive Materials by an Eddy-Current Transducer with Orthogonal Coils.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 36, No. 1. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (2000): p 299-307.
  45. Hannakam, L. and G. Mrozynski. “Transienter Skineffekt in der Kugel bei Beliebiger Form der Erregender Leiterschleife.” Archiv fiir Elektrotechnik. Vol. 55. Berlin, Germany: Springer-Verlag (1973): p 299-309.
  46. Theodoulidis, T.P., N.V. Kantartzis, E.E. Tsiboukis and E.E. Kriezis. “Analytical and Numerical Solution of the Eddy-Current Problem in Spherical Coordinates Based on the Second-Order Vector Potential Formulation.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 33, No. 4. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1997): p 4461-2472.
  47. Mrozynski, G. “Analytical Determination of Eddy Currents in a Hollow Sphere Excited by an Arbitrary Dipole.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 34, No. 6. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1998): p 3822-3829.
  48. Auld, B.A., KG. Muennemann and M. Riaziat. “Quantitative Modeling of Flaw Responses in Eddy Current Testing.” Research Techniques in Nondestructive Testing. Vol. 7. London, United Kingdom: Academic Press (1984).
  49. Burke, S.K. “Impedance of a Horizontal Coil above a Conducting Half-Space.” Journal of Physics D: Applied Physics. Vol. 19. Melville, NY: American Institute of Physics (1986): p 1159-1173.
  50. Burke, S.K. “Eddy-Current Induction in a Uniaxially Anisotropic Plate.” Journal ofApplied Physics. Vol. 68, No. 7. Melville, NY: American Institute of Physics (1990): p 3080-3090.
  51. Theodoulidis T.P. and E.E. Kriezis. “Impedance Evaluation of Rectangular Coils for Eddy Current Testing of Planar Media.” NDT&E International. Vol. 35. Kidlington, United Kingdom: Elsevier Science Limited (2002): p 407-414.
  52. Theodoulidis, T.P. “Analytical Modeling of Wobble in Eddy Current Tube Testing with Bobbin Coils.” Research in Nondestructive Evaluation. Vol. 14, No. 2. Columbus, OH: American Society for Nondestructive Testing June 2002): p 111-126.
  53. Kolyshkin, A.A. and R. Vaillancourt. “Method of Solution of Forward Problems in Eddy-Current Testing.” Journal of Applied Physics. Vol. 77, No. 10. Melville, NY: American Institute of Physics (1995): p 4903-4913.
  54. Satveli, R., J.C. Moulder, B. Wang and J.-H. Rose. “Impedance of a Coil near an Imperfectly Layered Metal Structure: The Layer Approximation.” Journal of Applied Physics. Vol. 79, No. 6. Melville, NY: American Institute of Physics (1996): p 2811-2821.
  55. Burke, S.K. “A Perturbation Method for Calculating Coil Impedance in Eddy-Current Testing.” Journal of Physics D: Applied Physics. Vol. 18. Melville, NY: American Institute of Physics (1985): p 1745-1760.
  56. Hannakam, L. and M. Albach. “Induzierte Wirbelstrome in einer Kreisscheibe und in einem Rechteckzylinder Endlicher Hohe.” Archiv fiir Elektrotechnik. Vol. 64. Berlin, Germany: Springer-Verlag (1981): p 127-134.
  57. Hannakam, L. and A. Kost. “Leitender Rechteckkeil im Felde einer Doppelleitung.” Archiv fiir Elektrotechnik. Vol. 65. Berlin, Germany: Springer-Verlag (1982): p 363-368.
  58. Nethe, A. “Einschalstrome in Spulen mit Leitendem Permeablem Kern bei Berucksichtigung der Induzierten Wirbelstrome.” Archiv fiir Elektrotechnik. Vol. 74. Berlin, Germany: Springer-Verlag (1991): p 389-401.
  59. Theodoulidis, T.P. “Model of Ferrite-Cored Probes for Eddy Current Nondestructive Evaluation.” Journal of Applied Physics. Vol. 93, No. 5. Melville, NY: American Institute of Physics (March 2003): p 3071-3078.
  60. Forster, F. “The First Picture: A View of the Initial Steps in the Development of Eight Branches of Nondestructive Material Testing.” Materials Evaluation. Vol. 41, No. 13. Columbus, OH: American Society for Nondestructive Testing (December 1983): p 1477-1488.
  61. British Intelligence Objectives Sub-Committee. Metallurgical Research and Testing Laboratories in the Stuttgart Area. London, United Kingdom: Her Majesty’s Stationery Office (1947).
  62. Sabbagh, H.A. “A Model of Eddy-Current Probes with Ferrite Cores.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 1, No. 3. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (May 1987): p 1888-1904.
  63. Theodoulidis, T. “Application of the Eigenvalues Method in Eddy Current NDE: A Model of Eddy Current Ferrite Cored Probes.” Electromagnetic Nondestructive Evaluation (VID. Amsterdam, aerlands: IOS Press (2004).
  64. Burrows, M.L. A Theory of Eddy-Current Flaw Detection. Ph.D. dissertation. Ann Arbor, MI: University of Michigan (1964).
  65. Stratton, J.A. Electromagnetic Theory. New York, NY: McGraw-Hill (1941).
  66. Harrington, R.F. Time Harmonic Electromagnetic Fields. New York, NY: McGraw-Hill (1961).
  67. Chari, M.V.K. and T.G. Kincaid. “Finite-Element Analysis of Eddy-Current Flaw Detection.” Eddy Current Characterization of Materials and Structures. Special Technical Publication 722. West Conshohocken, PA: ASTM International (1981): p 59-75.
  68. Raiche, A.P. “An Integral Equation Approach to Three Dimensional Modelling.” Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. Vol. 36. Oxford, United Kingdom: Blackwell Scientific Publications, for the Royal Astronomical Society (1974): 363-376.
  69. Weidelt, P. “Electromagnetic Induction in Three Dimensional Structures.” Journal of Geophysics. Vol. 41. Oxford, United Kingdom: Blackwell Scientific Publications, for the Royal Astronomical Society (1975): p 85-109.
  70. Wannamaker, P.E., G.W. Hohmann and W.A. San Filipo. “Electromagnetic Models of Three Dimensional Bodies in Layered Earths Using Integral Equations.” Geophysics. Vol. 49, No. 1. Tulsa, OK: Society of Exploration Geophysicists (1984): p 60-74.
  71. McKirdy, D.M. “Recent Improvements to the Application of Volume Integral Method of Eddy Current Modelling.” Journal of Nondestructive Evaluation. Vol. 8. New York, NY: Plenum (1989): p 45-50.
  72. Bowler, J.R., S.A. Jenkins, L.D. Sabbagh and H.A. Sabbagh. “Eddy Current Probe Impedance Due to a Volumetric Flaw.” Journal of Applied Physics. Vol. 70, No. 3. Melville, NY: American Institute of Physics (1991): p 1107-1114.
  73. Bowler, J.R., L.D. Sabbagh, H.A. Sabbagh and S.A. Jenkins. “Differential Eddy-Current Probe Response Calculation Using Volume Elements.” COMPEL — The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering. Vol. 9. Bradford, United Kingdom: MCB UP Limited, Emerald (1990): p 143-146.
  74. Kahn, A.H., R. Spal and A. Feldman. “Eddy-Current Losses Due to Surface Crack in Conducting Material.” Journal of Applied Physics. Vol. 48, No. 11. Melville, NY: American Institute of Physics (November 1977): p 4454-4459.
  75. Sommerfeld, A. Optics. New York, NY: Academic Press (1964).
  76. Harrison, D.J., L.D. Jones and S.K. Burke. “Benchmark Problems for Defect Size and Shape Determination in Eddy-Current Nondestructive Evaluation.” Journal of Nondestructive Evaluation. Vol. 15. New York, NY: Plenum (1996): p 21-34.
  77. Tai, C.-T. Dyadic Green Functions in Electromagnetic Theory. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers, with Oxford University Press (1996).
  78. Cheng, D.K. Field and Wave Electromagnetics. Boston, MA: Addison-Wesley (1989).
  79. Van Bladel, J. Electromagnetic Fields. Berlin, Germany: Springer-Verlag (1985).
  80. Tai, C.-T. Generalized Vector and Dyadic Analysis: Applied Mathematics in Field Theory. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers, with Oxford University Press (1999).
  81. Rumsey, V.H. “Reaction Concept in Electromagnetic Theory.” Physical Review. Vol. 94, No. 6. Melville, NY: American Institute of Physics, for American Physical Society (June 1954): p 1483-1491.
  82. Nair, S.M. and J.H. Rose. “Low-Frequency Asymtotics for Eddy Currents in a Conducting Half-Space in the Absence and Presence of Inhomogeneities.” Journal ofApplied Physics. Vol. 70, No. 4. Melville, NY: American Institute of Physics (1991): p 1924-1937.
  83. Harfield, N., Y. Yoshida and J.R. Bowler. “Low Frequency Eddy Current Interaction with a Crack.” Journal of Applied Physics. Vol. 80, No. 7. Melville, NY: American Institute of Physics (1996): p 4090-4100.
  84. Harfield, N. and J.R. Bowler. “Analysis of Eddy-Current Interaction with a Surface-Breaking Crack.” Journal ofApplied Physics. Vol. 76, No. 8. Melville, NY: American Institute of Physics (1994): p 4853-4856.
  85. Noble, B. Methods Based on the Wiener-Hopf Technique for the Solution ofPartial Differential Equations. New York, NY: Pergamon Press (1958).
  86. Harfield, N. and J.R. Bowler. “A Geometrical Theory for Eddy-Current Non-Destructive Evaluation.” Proceedings of the Royal Society: Series A, Mathematical and Physical Sciences. Vol. 453. London, United Kingdom: Royal Society (1997): p 1121-1152.
  87. Binns, K.J. and P.J. Lawrenson. Analysis and Computation of Electric and Magnetic Field Problems. Oxford, United Kingdom: Pergamon Press (1973).
  88. Nehari, Z. Conformal Mapping. New York, NY: Dover Publications (1952): p 194.
  89. Press, W.H., S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling and B.P. Flannery. Numerical Recipes in Fortran: The Art of Scientific Computing, second edition. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press (1992).
  90. Forster, F. “Nondestructive Inspection by the Method of Magnetic Leakage Fields: Theoretical and Experimental Foundations of the Detection of Surface Cracks of Finite and Infinite Depth.” Defektoskopiya. Vol. 11. New York, NY: Plenum/Consultants Bureau (1982): p 3-25.
  91. Bowler, J.R. and N. Bowler. “Evaluation of the Magnetic Field near a Crack with Application to Magnetic Particle Inspection.” Journal of Physics D: Applied Physics. Vol. 35. Bristol, United Kingdom: Institute of Physics (2002): p 2237-2242.
  92. Wilton, D.T., B.K. Middleton and M.M. Aziz. “Exact Harmonic Coefficients for a Magnetic Ring Head.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 35, No 3. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (May 1999): p 2042-2047.
  93. Van Bladel, J. Singular Electromagnetic Fields and Sources. Oxford, United Kingdom: Oxford Scientific Publications (1991).
  94. Bowler, J.R. “Eddy-Current Interaction with an Ideal Crack I: The Forward Problem.” Journal of Applied Physics. Vol. 75, No. 12. Melville, NY: American Institute of Physics (1994): p 8128-8137.
  95. Burke, S.K. and L.R.F. Rose. “Interaction of Induced Currents with Cracks in Thin Plates.” Proceedings of the Royal Society of London. Vol. A 418. London, United Kingdom: Royal Society (1988): p 229-246.
  96. Bowler, J.R., S.J. Norton and DJ. Harrison. “Eddy-Current Interaction with an Ideal Crack II: The Inverse Problem.” Journal of Applied Physics. Vol. 75, No. 12. Melville, NY: American Institute of Physics (1994): p 8138-8144.
  97. Harrington, R.F. Field Computation by Moment Methods. New York, NY: Macmillan (1968).
  98. Wang, J.J.H. Generalized Moment Methods in Electromagnetics: Formulation and Computer Solution of Integral Equations. New York, NY: Wiley-Interscience January 1991).
  99. Beltrame, P. and N. Burais. “Computing Methods of Hypersingular Integral Applied to Eddy-Current Testing.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 38, No. 2. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (2002): p 1269-1272.
  100. Bowler, J.R. “Inversion of Open Cracks Using Eddy-Current Probe Impedance Measurements.” Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation (Montreal, Canada, July 1999] Vol. 19A. New York, NY: Plenum (2000): p 529-533.
  101. Michael, D.H., R. Collins and K.B. Ranger. “The AC Fuels around a Plane Semi-Elliptical Crack in a Metal Surface.” Proceedings of the 13th Symposium on Nondestructive Evaluation. San Antonio, TX: Nondestructive Testing Information and Analysis Center (1981): p 470-479.
  102. Michael, D.H., R.T. Waechter and R. Collins. “The Measurement of Surface Cracks in Metals by Using A.C. Electric Fields.” Proceedings of the Royal Society of London: Series A, Mathematical and Physical Sciences. Vol. 381, No. 1780. London, United Kingdom: Royal Society (May 1982): p 139-157.
  103. Auld, B.A., S.R. Jefferies and J.C. Moulder. “Eddy-Current Signal Analysis and Inversion for Semielliptical Surface Cracks.” Journal of Nondestructive Evaluation. Vol. 7. New York, NY: Plenum (1988): p 79-94.
  104. Lewis, A.M., D.H. Michael, M.C. Lugg and R. Collins. “Thin-Skin Electromagnetic Fields around Surface-Breaking Cracks in Metals.” Journal of Applied Physics. Vol. 64, No. 8. Melville, NY: American Institute of Physics (1988): p 3777-3784.
  105. Lewis, A.M. “A Theoretical Model of the Response of an Eddy-Current Probe to a Surface-Breaking Metal Fatigue Crack in a Flat Test-Piece.”” Journal of Physics D, Applied Physics. Vol. 25. Bristol, United Kingdom: Institute of Physics (1992): p 319-326.
  106. Felsen, L.B. and N. Marcuvitz. Radiation and Scattering of Waves. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall (1973).
  107. Harfield, N. and J.R. Bowler. “Theory of Thin-Skin Eddy-Current Interaction with Surface Cracks.” Journal of Applied Physics. Vol. 82, No. 9. Melville, NY: American Institute of Physics (1997): p 4590-4603.
  108. Yoshida, Y. and J.R. Bowler. “Vector Potential Integral Formulation for Eddy-Current Probe Response to Cracks.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 36, No. 2. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (March 2000): p 461-469.
  109. Bowler, J.R. and N. Harfield. “Evaluation of Probe Impedance Due to Thin-Skin Eddy-Current Interaction with Surface Cracks.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 34. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1998): p 515-523.
  110. Bowler, J.R. and N. Harfield. “Thin-Skin Eddy-Current Interaction with Semi-Elliptical and Epi-Cyclic Cracks.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 36, No. 1. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (2000): p 281-291.
  111. Hochschild, R. “Electromagnetic Methods of Testing Metals.” Progress in Non-Destructive Testing. Vol. 1. New York, NY: Macmillan (1959): p 59-109.
  112. Lord, W. and R. Palanisamy. “Development of Theoretical Models for Nondestructive Testing Eddy Current Phenomena.” Eddy Current Characterization of Materials and Structures. Special Technical Publication 722. West Conshohocken, PA: ASTM International (1979): p 5-21.
  113. McMaster, R.C. “The Origins of Electromagnetic Testing.” Materials Evaluation. Vol. 43, No. 7. Columbus, OH: American Society for Nondestructive Testing (July 1985): p 946-956.
  114. Hughes, D.E. “Induction Balance and Experimental Researches Therewith.” Philosophical Magazine. Series 5, Vol. 8. Abingdon, United Kingdom: Taylor and Francis (1879): p 50.
  115. Förster, F. and K. Stambke. “Theoretische und Experimentelle Grundlagen der Zerst6rungsfreien Werkstoffpriifung mit Wirbelstromverfahren, III: Verfahren mit Durchlaufspule ziir Quantitativen Zerst6rungsfreien Werkstoffpriifung.” Zeitschrift fiir Metallkunde. Vol. 45, No. 4. Stuttgart, Germany: Riederer-Verlag (1954): p 166-179.
  116. Libby, H.L. Introduction to Electromagnetic Nondestructive Test Methods. New York, NY: Wiley-Interscience (1971).
  117. Weidelich, D.L. and C.J. Renken. “The Impedance of a Coil near a Conductor.” Proceedings of the National Electronics Conference. Vol. 12. Chicago, IL: National Engineering Conference (1956): p 188-196.
  118. Vine, J. “Impedance of a Coil Placed near to a Conducting Sheet.” Journal of Electronics and Control. Vol. 16. London, United Kingdom: Taylor and Francis (1964): p 569-577.
  119. Cheng, D.H.S. “The Reflected Impedance of a Circular Coil in the Proximity of a Semi-Infinite Medium.” IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. Vol. 14, No. 3. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (September 1965): p 107-116.
  120. Dodd, C.V. Solutions to Electromagnetic Induction Problems. Ph.D. dissertation. Knoxville, TN: University of Tennessee (June 1967).
  121. Graneau, P. and S.A. Swann. “Electromagnetic Fault Detection in Non-Ferrous Pipes.” Journal of Electronics and Control. Vol. 8. London, United Kingdom: Taylor and Francis (1960): p 127-147.
  122. Graneau, P. “Frequency Dependence of Induced Currents.” Journal of Electronics and Control. Vol. 10. London, United Kingdom: Taylor and Francis (1961): p 383-401.
  123. Beland, B. “Eddy Currents in Circular, Square and Rectangular Rods.” IEE Proceedings. Vol. 130, Part A, No. 3. London, United Kingdom: Institution of Electrical Engineers (March 1983): p 112-121.
  124. Burrows, M.L. “An Examination of the Coupled-Circuit Theory of Eddy Currents.” Journal of Electronics and Control. Vol. 16. London, United Kingdom: Taylor and Francis (1964): p 659-668.
  125. Vlasov, V.V. and V.A. Komarov. “The Magnetic Field of Eddy Currents above a Surface Crack in Metal with Excitation of Them by an Applied Inductor.” Defektoskopiya. No. 6. New York, NY: Plenum/Consultants Bureau (1971): p 63-76.
  126. Zatsepin, N.N. and V.E. Shcherbinin. “Calculation of the Magnetostatic Field of Surface Defects, I: Field Topography of Defect Models.” Defektoskopiya. No. 5. New York, NY: Plenum/Consultants Bureau (September-October 1966): p 50-59.
  127. Vein, P.R. “Inductance between Two Loops in the Presence of Solid Conducting Bodies.” Journal of Electronics and Control. Vol. 13. London, United Kingdom: Taylor and Francis (1962): p 471-494.
  128. Dodd, C.V., W.E. Deeds, J.W. Luquire and W.G. Spoeri. ORNL-4384, Some Eddy Current Problems and Their Integral Solution. Oak Ridge, TN: Oak Ridge National Laboratory (1969).
  129. Dodd, C.V., C.C. Cheng, C.W. Nestor, Jr. and R.B. Hofstra. ORNL-TM-4175, Design ofInduction Probes for Measurement ofLevel of Liquid Metals. Oak Ridge, TN: Oak Ridge National Laboratory (1973).
  130. Luquire, J.W., W.E. Deeds and W.G. Spoeri. ORNL-TM-2501, Computer Programs for Some Eddy Current Problems. Oak Ridge, TN: Oak Ridge National Laboratory (August 1969).
  131. Brown, M.L. “Calculation of Three-Dimensional Eddy Currents at Power Frequencies.” IEEE Proceedings. Vol. 129, Part A, No. 1. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (January 1982): p 46-53.
  132. Hammond, P. “Use of Potentials in Calculation of Electromagnetic Fields.” IEEE Proceedings. Vol. 129, Part A, No. 2. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (March 1982): p 106-112.
  133. Sarma, M.S. “Potential Functions in Electromagnetic Field Problems.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. MAG-6, No. 3. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (September 1970): p 513-518.
  134. James, M.L., G.M. Smith and J.C. Walford. Applied Numerical Methods for Digital Computation. New York, NY: Harper and Row (1977).
  135. Erdelyi, E.A. and E.F. Fuchs. “Nonlinear Magnetic Field Analysis of DC Machines. Part I: Theoretical Fundamentals.” IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. Vol. PAS-89. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1970): p 1546-1554.
  136. Erdelyi, E.A. and E.F. Fuchs. “Nonlinear Magnetic Field Analysis of DC Machines. Part II: Application of the Improved Treatment.” IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. Vol. PAS-90. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1970): p 1555-1564.
  137. Demerdash, N.A., H.B. Hamilton and G.W. Brown. “Simulation for Design Purposes of Magnetic Fields in Turbogenerators with Symmetrical and Asymmetrical Rotors. Part I: Model Development and Solution Technique.” IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. Vol. PAS-91. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1972): p 1985-1992.
  138. Demerdash, N.A., H.B. Hamilton and G.W. Brown. “Simulation for Design Purposes of Magnetic Fields in Turbogenerators with Symmetrical and Asymmetrical Rotors. Part II: Model Calibration and Applications. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. Vol. PAS-91. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1972): p 1992-1999.
  139. Sieminieniuch, J.L. and I. Gladwell. “Analysis of Explicit Difference Methods for a Diffusion-Convection Equation.” International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 12, No. 6. New York, NY: Wiley (1978): p 899-916.
  140. Dufort, E.C. and S.P. Frankel. “Stability Conditions in the Numerical Treatment of Parabolic Differential Equations.” Mathematical Tables and Aids to Computation. Vol. 7. Washington, DC: National Research Council (1953): p 135-152.
  141. Richtmyer, R.D. and K.W. Morton. Differential Methods for Initial Value Problems. London, United Kingdom: John Wiley (1967).
  142. Jennings, A. and G.M. Malik. “The Solution of Sparse Linear Equations by the Conjugate Gradient Method.” International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 12, No. 1. New York, NY: John Wiley (1978): p 141-158.
  143. Zienkiewicz, O.C. The Finite Element Method in Engineering, third edition. London, United Kingdom: McGraw-Hill (1977).
  144. Oden, J.T. and G.F. Carey. Finite Elements, Special Problems in Solid Mechanics. Vol. 5. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall (1984).
  145. Melash, R.J. “Numerical Analysis of Automobile Structures.” Advances in Computational Methods in Structural Mechanics and Design. Huntsville, AL: UAH Press (1972): p 746-766.
  146. Sabir, A.B. “Finite Element Analysis of Arch Bridges.” Finite Elements for Thin Shells and Curved Members. London, United Kingdom: John Wiley and Sons (1974): p 223-242.
  147. Bruch, J.C. and G. Zyroloski. “Transient Two-Dimensional Heat Conduction Problems Solved by the Finite Element Method.” International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 8, No. 3. New York, NY: John Wiley (1974): p 481-494.
  148. Le Provost, C. and A. Poucet. “Finite Element Method for Spectral Modeling of Tides.” International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 12, No. 5. New York, NY: John Wiley (1978): p 853-872.
  149. Arlet, P.L. et al. “Application of Finite Elements to the Solution of Helmholtz’ Equation.” Proceedings of the IEEE. Vol. 115, No. 12. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (December 1968).
  150. McNeice, G.M. and H.C. Amstutz. “Finite Element Studies in Hip Reconstructions.” Biomechanics. Vol. A. Baltimore, MD: University Park Press (1976): p 394-405.
  151. Silvester, P.P. and M.V.K. Chari. “Finite Element Solution of Saturable Magnetic Field Problems.” [EEE Transactions on Power Apparatus and Systems. Vol. 89. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1970): p 1642-1651.
  152. Anderson, O.W. “Transformer Leakage Flux Program Based on the Finite Element Method.” IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. Vol. 92. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (March-April 1973): p 682-689.
  153. Chari, M.V.K. “Finite Element Solution of the Eddy Current Problem in Magnetic Structures.” IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. Vol. PAS-93. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1974): p 62.
  154. Aoki, S. “Three Dimensional Magnetic Field Calculation of the Levitation Magnet for HSST by the Finite Element Method.” IEEE Transactions on Magnetics, Vol. MAG-16. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (September 1980): p 725-727.
  155. Kaminga, W. “Finite Element Solutions for Devices with Permanent Magnets.” Applied Physics. Vol. 8, No. 7. Berlin, Germany: Springer-Verlag (May 1975): p 841-855.
  156. Demerdash, N.A. and T.W. Nehl. “An Evaluation of the Methods of Finite Elements and Finite Differences in the Solution of Nonlinear Electromagnetic Fields in Electrical Machines.” IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. Vol. PAS-98, No. 1. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (January-February 1978): p 74-87.
  157. Huebner, K.H. The Finite Element Method for Engineers. New York, NY: Wiley-Interscience (1975).
  158. Palanisamy, R. Finite Element Modeling of Eddy Current Nondestructive Testing Phenomena. Ph.D. dissertation. Fort Collins, CO: Colorado State University (1980).
  159. Palanisamy, R. and W. Lord. “Finite Element Modeling of Electromagnetic NDT Phenomena.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. MAG-15, No. 6. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (November 1979): p 1479-1481.
  160. Ida, N. Three Dimensional Finite Element Modeling of Electromagnetic Nondestructive Testing Phenomena. Ph.D. dissertation. Fort Collins, CO: Colorado State University (1983).
  161. Ida, N. and W. Lord. “A Finite Element Model for Three-Dimensional Eddy Current NDT Calculations.” IEEE Transactions on Magnetics. Vol. MAG-21, No. 6. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (November 1985): p 2635-2643.
  162. Wood, W.L. “A Further Look at Newmark, Houbolt, etc., Time Stepping Formulae.” International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 20, No. 6. New York, NY: John Wiley (1984): p 1009-1018.
  163. Oden, J.T. “A General Theory of Finite Elements I: Topological Considerations.” International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 1, No. 2. New York, NY: John Wiley (1969): p 205-221.
  164. Oden, J.T. “A General Theory of Finite Elements II: Applications.” International Journal for Numerical Methods in Engineering. Vol. 1, No. 3. New York, NY: John Wiley (1969): p 247-259.
  165. Demerdash, N.A., T.W. Nehl, EA. Fouad and O.A. Mohammed. “Three Dimensional Finite Element Vector Potential Formulation of Magnetic Fields in Electrical Apparatus.” IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. Vol. PAS-100, No. 4. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (April 1981): p 4104-4111.
  166. Cook, W.A. LA-9402-MS, INGEN: A General-Purpose Mesh Generator for Finite Element Codes. Los Alamos, NM: Los Alamos Scientific Laboratory (June 1982).
  167. Ida, N. “A Mesh Generator with Automatic Bandwidth Reduction for 2-D and 3-D Geometries.” Computational Electromagnetics. New York, NY: Elsevier Science Publishers (1986): p 13-22.
  168. Demerdash, N.A., O.A. Mohammed, T.W. Nehl, E.A. Fouad and R.H. Miller. “Solution of Eddy Current Problems Using Three-Dimensional Finite Element Complex Magnetic Vector Potential.” IEEE PES Winter Meeting. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (1982).
  169. Ida, N., H. Hoshikawa and W. Lord. “Finite Element Prediction of Differential EC Probe Signals from Fe304 Deposits in PWR Steam Generators.” NDT International. Vol. 18, No. 6. Kidlington, United Kingdom: Elsevier Science Limited (December 1985): p 331-338.
  170. Ida, N. and W. Lord. “Simulating Electromagnetic NDT Probe Fields.” IEEE Computer Graphics and Applications.” Vol. 3, No. 3. New York, NY: Institute of Electrical and Electronics Engineers (May-June 1983): p 21-28.
  171. Ida, N., R. Palanisamy and W. Lord. “Eddy Current Probe Design Using Finite Element Analysis.” Materials Evaluation. Vol. 41, No. 12. Columbus, OH: American Society for Nondestructive Testing (November 1983): p 1339-1394.
  172. Hoshikawa, H., R.M. Li and N. Ida. “Finite Element Analysis of Eddy Current Surface Probes.” Review of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation. Vol. 3A. New York, NY: Plenum (1984): p 675-682.
  173. Ida, N., K. Betzold and W. Lord. “Finite Element Modeling of Absolute Eddy Current Probe Signals.” Journal of Nondestructive Evaluation. Vol. 3, No. 3. New York, NY: Plenum (1983): p 147-154.





antes
 depois